本人から競争心というか、やる気がまったく感じられません。

この度はご相談ありがとうございます。ご兄弟で希学園へお通いなのですね。
お兄さんが希学園に通っておられたということで、ご本人にとっては塾に行くのも、学校へ行くのと同じ感覚なのかもしれませんね。

まずは、なぜ中学受験をするのかをご本人がどう考えているか、確認してみてください。
ご本人に「将来こんなことがしたい」といった、漠然としたものでも目標があれば、その目標に到達するための目標として、志望校を決めて頑張るのはどうかしら、と提案してみるのがよいのではと思います。
もちろん長い期間の間には、目標が変わるかもしれませんが、モチベーションを上げるために目標を立てることは、とてもよいことです。

次に短期目標として、復習テストで合格点をとる、公開テストで偏差値○○をとる、クラスアップをめざすなどをやはりお子さんと一緒に考えていきましょう。
短期目標が決まったら、現状の力を考えて、何をしていけばいいかをご本人と相談して日々の学習、宿題のやり方などを決めるとよいですね。
一方的に「□□しなさい」と言ってしまうとモチベーションは上がりません。
ご本人と相談しながら、「こうすればいい結果が出ると思うんだけど、どう？」とお母さんが導いてあげてください。

また、いろいろな学校の説明会や文化祭などの行事に足を運んでみるのも、お子さんのモチベーションアップに有効な方法です。
実際に学校をみることで、ご本人の意識の面も変わってきます。