成績が下降気味ですが、塾以外の学習を加えると子供がつぶれそうで不安です。

日能研では、6年生のテスト種別が9月から、学習力育成テスト(旧カリキュラムテスト)＋合格力育成テスト＋センター模試（9月からは「合格判定テスト」という名称です。）＋入試実戦模試（日能研関西オリジナルで、関西+広島が対象となっています。）の4本立てになります。
明らかに忙しくなりそうで、お母様はさぞかしご心配なことでしょう。

テストの特色を見ていきますと、学習力育成テスト(旧カリキュラムテスト)がステージⅤの復習、合格力育成テストは入試本番でたじろがないように備えをするテストで、この2つのテストが週末に交互に実施されます。

9月以降のセンター模試は、やや関東の中学受験を意識した出題となるため、数年前から導入されたのが日能研関西オリジナルの入試実戦模試です。
このように、それぞれのテストの狙いは実は大きく異なります。
それを知らずにいずれのテストにも対処しようとして学習を進めると、まとまりのない学習を大量におこなう必要が出てきて、たしかに「ただ追いまわされているだけの感じ」になるでしょうね。
優先順位づけが重要です。

今後、お子さんに最も大切なテストはどれでしょうか？
「最も大切」とは、「そのテストを受けることで、次の学習指針を立てることができるもの」という意味です。
この点に立って、テストの優先順位を決定し、そのテストに向けての準備を、2週間または1ヶ月のサイクルで考え見てください。
そのサイクルを元にして、個別指導をはめ込むことが出来るかどうかの検討をなさることをお勧めします。

テストの優先順位がつけられない場合は、お通いの日能研に行かれて、今、お子様に大切なテストについてご相談なさってください。