成績が下がってきた子どもと、どのように関わっていったらいいか悩んでいます。

この度はご相談ありがとうございます。日能研にお通いなのですね。

ご相談いただいた通り、確かに５年生という学年は難しい学年ですよね。
５年生で学習する内容は中学受験の基盤となりますから、どの単元もおろそかにできないし、しっかり定着させることができず、抜け漏れがあると、６年生になってから復習しようとしても中々取り返すことができません。

お子様も一生懸命がんばろうとしているのでしょう。
お母様のアドバイスに過敏に反応するのは、自我が育ってくる年令ということもありますが、受験することにストレスやプレッシャーを感じているということかもしれません。
学校に行けば受験しない人もかなりいるわけで、そのような人たちが元気いっぱいに遊んでいるのを横目で見ながら塾へ行くわけです。
そのあたりのことを良く考えてお声かけしないと、「がんばっているのにあれこれ言われ、うるさいな」ということになってしまいかねないですよね。

ですから、できるだけ口を出さずに手を出してあげましょう。
つまり作業面でお手伝い（サポート）をしてさしあげようということです。
もちろんお手伝いといっても宿題を代わりにしてあげるなどできませんから、身の回りの学習環境を整えてあげるというお手伝いです。

まずは、テスト類（プリント類）の整理などから始められてはいかがでしょうか。
お子様の学習の成果をチェックしていけるというメリットもありますし、さらにテスト類の整理をしながら、間違えている問題と解答をコピーしてノートの表裏にはっていき、間違い問題集を作ってあげるのもいいですよ。
お子様専用のオリジナル問題集ができるわけですから、お子様に喜ばれるのではないでしょうか。

また、理科の暗記や社会の暗記などは、テキストの中で要点がまとめられた部分やズバピタなどを使って口頭試問でお手伝いすれば、お子様の学力アップの他に、お子様とコミュニケーションをとるいい機会にもなりますし、毎回テーマを決めておいて「10問中何問正解！」など、盛り上げていくと楽しいですよ。

そして、お子様のスケジュール管理をしてあげるのは、お子様の労力を学習面に集中させる意味でとてもいいと思います。
ただし、スケジュールは必ずお子様との同意の上で作り上げてくださいね。

お声かけももちろん必要です。
うるさがっているような場合は少し控えてタイミングを見計らいましょう。
声のかけ方については、できていないことの指摘ばかりにならないように注意し、できていることを見つけて褒め、認めてあげることを意識すればよいでしょう。
できていないことももちろん指摘が必要ですが、「どうすればよくなるか」という観点からアドバイスするよう心がければ、お子さんも「言われなくてもわかってるよ！」という気持ちになりにくいと思います。
とにかく褒めるということを心に留めて接してくだされば、お子様の大好きなお母様のアドバイスをうれしく思い、親子の関係もスムーズに回りだすことと思います。