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問題

右の図のように、ある規則で整数が並んでいます。

（１）　1を中心とした数の位置を考えます。 例えば、7の位置は（左1、下1）、12の位置は （右2、上1）と表し、19の位置は（右2、0）、 23の位置は（0、下2）と表します。 このとき2005の位置はどのように表されますか。

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（２）並べられた数の中で、その数の上下の数の合計と左右の数の合計が等しくなる数をとり出して、小さい順に並べていきます。
例えば、5の上下の数の合計は16+6=22、左右の数の合計は18+4=22で等しくなるので、5はとり出す数の1つです。このとき101番目に並ぶ数は何ですか。

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解答

（１）まずは調べ上げ。ここを面倒くさがると解けません。
早速、頭ならず手を動かしてみましょう。表をもう少し書き足して見ます。
(図1参照)

《図１》

(実際にはここまでは必要ありません。できれば50を書く頃には気づきたいですね。)
ここで、早速ポイントです！！　【規則は数列に見る！】
さてどこにどんな数列が見えましたか？　
見当がつかなければ、何か特別な数に注目しましょう。

という訳で、ここでは同じ数を2回かけた積(平方数といいます。)に注目しましょう。
なぜ平方数かって？　それはよくあるパターンだからです。
図2を見てください。
偶数×偶数と奇数×奇数の積が、それぞれ規則正しく並んでいるではないですか！

《図２》

しかも奇数×奇数の位置は、
9＝(右1、下1)、25＝(右2、下2)、49＝(右3、下3）と、
とても表しやすくなっていますね。これを使わない手はありません！
そこで、2005がどの平方数の近くになりそうかの見当を立ててみましょう。

となります。
また、次の表から、45×45＝2025は(右22、下22) となることがわかりますね。

2005＝2025−20より、2005の位置は2025から20だけ左へ戻ることになり、 (右2、下22)となります。

答え．右２、　下２２

（２）これまた意味のわからない設問です。
しかし、設問になっているからには、求める数は特別な場所にあるはず！
表は、正方形を作るように数が並んでいるので、正方形の頂点のあたりを見てみると、図3のようになります。

《図３》

表中の緑色のワク内にある数は、5はもちろんのこと、7の左右の数の和20＋8＝28、上下の数の和6＋22＝28、10の左右の数の和9＋27＝36、上下の数の和11＋25＝36のように、左右の数の和＝上下の数の和となり設問で求められている数が見つかりました。
そこで、これらの数を小さなものから順に並べてみましょう。

このままでは面倒くさそうなので、101番目は奇数番目だから、奇数番目だけ抜き出してみると、次の数列のようにすっきりしました。

2段目にならぶ数が等差数列になっている（このような数列を階差数列といいます）ことに気づきましたか。さらに、1段目の「数列ア」にある数は、「数列アの最初の数2」＋「2段目の等差数列イの和」となっていますね。
101＝2×51−1より、101番目は51番目の奇数なので、（数列ア）では51番目に並んでいることから、101番目の数＝「数列アの最初の数2」＋「等差数列イ50個分の和」となります。また、2段目の等差数列は、最初の3から2ずつ増えるので、50番目の数は3＋2×49=101です。

すなわち、

「2段目の等差数列50個分の和」=（3＋101）×50÷2=2600

101番目の数=2＋2600=2602　とわかりました。

答え．２６０２

（2）別解
上のように、調べ上げていけば（＝手を動かせば）何とかなるのが算数です。でも「面倒くさいのはイヤ！」とおっしゃるワガママな方（ちなみに私もそうです。）のために、ちょっと頭を使ってみましょう。

図3のそれぞれ正方形には、求める数が4つずつ入っています。

そこで、101÷4＝25･･･1より101番目の数は26番目の正方形にある4つの数のうち、1番目の数とわかります。
しかも、それぞれの正方形の1番目の数は、1つ前の正方形の最後にある平方数の次の数になっています。

だから・・・

101番目の数＝25番目の正方形の最後にある平方数+1

とわかりました。
ところで、25番目の正方形の最後にある平方数は、次の表のように 51×51=2601となります。

以上から、101番目＝2601＋1=2602と楽勝で求まりました。
算数で頭を使うのは、「ラクをしたいとき」に限りますよね！

答え．２６０２