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問題

下の図は立方体でこの立方体の頂点Aから点P、Qが同時に出発し、次のルールにしたがって動きます。

【　ルール　】
�@１個のサイコロをふって奇数の目が出たとき、点Pは下の図の→にそって辺１つ分 だけ動き、点Qは下の図の⇒にそって辺１つ分だけ動きます。

�A１個のサイコロをふって偶数の目が出たとき、点Pは下の図の⇒にそって辺１つ分 だけ動き、点Qは下の図の→にそって辺１つ分だけ動きます。

例えばサイコロを２回ふり、１回目に３、２回目に２がでると、点Pは１回目に頂点B まで動き、２回目に頂点Fまで動きます。このとき、点Qは頂点Fまで動くので、２点が 頂点Fにいることになります。
ではサイコロを６回ふったとき、点Pと点Qが同じ頂点にいるような２点の動き方は 何通りありますか。

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解答

動きがぐちゃぐちゃして頭の中が「ウニになる〜！」と感じましたか？
それとも、
なーんとなく「規則があるのかな？」と思いましたか？

そうですね、感じ方は人によって違うのですが、入試問題で大切なことは勘ではなく確かめるという作業です。

ここでは「例」があげられていますので、その動き図中で確かめ、さらに「もし３回目に偶数がでたら…」のように続きの動きを見ることで２点が同一頂点にいるときの規則を見つけていきましょう。

一番単純な場合は、奇数と偶数が互い違いに出て、２回サイコロをふるごとに２点が同一頂点にいる場合です。
いいかえれば、同一頂点にいた２点が再び同一頂点にいるのは最短でも２辺動いた後であるということです。

このことに気づけば、２点が同一頂点にいることができるのは右の図の○の頂点であり、●の頂点では無理であることがわかります。 その結果、２点P、Qの両方が図の○の頂点にいるためには、出た目の奇数の回数と偶数の回数の差が０回または４回であることも分かります。 そこで６回ふったサイコロの目を、奇数の目と偶数の目の出た回数に場合分けをしてみます。

ここまでで分かったことから、イ、エ、カの３つの場合についてだけ調べるとよいわけです。

点Pと点Qがどのような道筋をたどるかは別として、イとカの場合は頂点Fで、エの場合は頂点Hで出会います。

答えなければいけないのは「動き方」であって、出た目の数字がいくつであるかは関係しないことに気をつけましょう。

動き方は出た「奇数の目」と「偶数の目」の回数で決まりますから
イの場合、６回目のうちどの１回が偶数であるかを考えるので、６通りです。
エの場合、６回のうちどの３回が偶数であるかを考えるので、

カの場合、６回のうちどの１回が偶数であるかを考えるので、６通りです。

ですから全部で、６＋２０＋６＝３２（通り）となります。

答え．３２通り