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問題

右の図は、長方形ABCDの内部に、直線AC、EFを書きこんだものです。２本の直線の交点をGとします。このとき、AGとGCの長さの比を最も簡単な整数の比で答えなさい。

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解答

「チョウチョ型」相似があるような、ないような…。
とくれば、
「相似完成では？」と、あたりをつけてみましょう。
（関東風に解くならば「面積比の利用では？」と、なります。
→三角形AEFの面積：三角形FECの面積）

求めたい線に注目してみると、GCの方は三角形GECがありますが、
AGの方に三角形がありません。

ですから、AGの方で三角形GECと相似になる三角形を作ります。

相似完成には、�@延長線　�A平行線　の２種類の補助線があります。

延長すると図形が大きくなってしまうので、ここでは図形の内部に平行線をかいてみます。

ここで注意することは、補助線をかくと「一気に２組の相似形ができる」と大正解ということです！

FからADと平行に直線をかき、ACの交点をHとします。

すると、
三角形ACDと三角形HCF（ア）、三角形HGFと三角形CGE（イ）の２組の
相似形が出来ました。

（ア）に着目して、 ＡＨ ： ＨＣ ＝ ＤＦ ： ＦＣ ＝ ２：３

AH ＝ ８、HG ＝ ９、GC ＝ ３

ですから、
AG：GC　＝　（８＋９）：３　＝　１７：３です。

答え．１７　：　３